Kombinasi linear, Membangun, Bebas dan Mengantung Linear

1. KOMBINASI LINEAR

Definisi

Vektor V dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor v₁, v₂,…,v_n bila w bisa dinyatakan sebagai :

                                w = k₁v₁ + k₂v₂+ … + k_nv_n , dengan k₁,k₂,…,k_nadalah skalar.

TEOREMA

Himpunan semua kombinasi linear dari sembarang himpunan vektor-vektor yang tidak kosong dari V adalah suatu ruang bagian dari V

CONTOH SOAL KOMBINASI LINEAR

Diketahui a = (1, 2), b = (-2, -3), dan c = (1, 3). Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan b?

Jawab:

Misalkan c merupakan kombinasi linear dari a dan b maka dapat ditentukan dengan c = k₁a + k₂b

(1, 3) = k₁(1, 2) + k₂(-2, -3)

(1, 3) = (1k₁, 2k₁) + (-2k₂, -3k₂)

Maka dapat dinyatakan 1 = k₁ – 2k₂dan 3 = 2k₁ – 3k₂ Sehingga diperoleh pengenyelesaian k₁= 3 dan k₂ = 1

Jadi c merupakan kombinasi linear dari a dan b, dan dinyatakan dengan c = 3a + b

2. MEMBANGUN (MERENTANG)

Definisi

Himpunan vektor S = {s₁, s₂, ... , s_n} dimana s₁, s₂, ... , s_n Î V disebut membangun jika setiap v Î V, v  merupakan kombinasi linear dari S ,yaitu : v = k₁s₁ + k₂s₂ +…+ k_ns_n, dengan k₁,k₂,…,k_n adalah skalar.

CONTOH SOAL MEMBANGUN

      Vektor-vektor i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) merentang R³.

Jawab :

Misal x = (x₁, x₂, x₃) Є R³sehingga akan dibuktikan k₁i + k₂j + k₃k = x

Jadi semua vector di R³ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear i, j, k; sehingga i, j, k membangun R³.

CONTOH LAIN

●      Polinom-polinom 1, x, x², ... , xⁿmembangun ruang vektor P_n, karena polinom p pada P_n dapat dituliskan sebagai        p = a₀+ a₁ x + a₂ x² +...+ a_n xⁿ

●      Yang merupakan kombinasi linear dari 1, x, x², ... , xⁿ

3. BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR

Definisi

Jika S = {v₁, v₂, v₃, ……………,v_n}adalah himpunan vector sedemikian sehingga, k₁v₁+ k₂v₂ + … + k_nv_n = 0 maka S = {v₁, v₂, v₃,..., v_n} disebut :

1.       Bebas linier apabila scalar-skalar k₁, k₂,…,k_nsemuanya nol.

2.       Bergantung linier apabila scalar-skalar k1, k2, k3,…, kn tidak semuanya nol.

CIRI-CIRI BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR

●        Himpunan vector S bebas linier jika system persamaan linier hanya mempunyai penyelesaian trivial (nol).

●        Himpunan vector S bergantung linier jika system persamaan linier mempunyai persamaan non trivial.

●        Vektor S merupakan bebas linear apabila

1.  Matrik tersebut det(S) ≠ 0.

2.  Ketiga vector tersebut mempunyai invers (sehingga dapat dibalik)