Sistem Persamaan Linier

SISTEM PERSAMAAN LINIER(SPL)

Sistem persamaan linear adalah persamaan-persamaan linear yang dikorelasikan untuk membentuk suatu sistem. Sistem persamaannya bisa terdiri dari satu variabel, dua variabel atau lebih. Disini kita akan mencari SPL dengan beberapa metode yaitu metode gouss, metode gouss jourdan dan metode crammer.

Langsung saja pertama tama kita bahas dulu metode gauss.

Siapa itu Gauss?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang mempunyai kontribusi besar didalam bidang geometri, teori bilangan, teori fungsi dan teori probabilitas. Dia menemukan cara untuk menghitung lintasan asteroid, membuat penemuan dasar di dalam teori potensial (bidang elektromagnetik), dan orang pertama yang menggunakan telegraf (1833). Karena konstribusinya itu, dia mempunyai julukan “Prince of Mathematics”.

Eliminasi Gauss

Metode ini dapat dimanfaatkan untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan merepresentasikan (mengubah) menjadi bentuk matriks, matriks tersebut lalu diubah kebentuk Eselon Baris melalui Operasi Baris Elementer. Kemudian sistem diselesaikan dengan substitusi balik.

Lalu apa itu eselon baris? dan bagaimana bentuknya?

Bentuk Eselon Baris

Suatu matriks memiliki bentuk eselon baris jika memenuhi 3 kriteria berikut :

1. Jika didalam baris terdapat elemen-elemen yang tidak semuanya nol, maka bilangan tak nol pertama di dalam baris tersebut adalah 1.
   Contoh : (Perhatikan setiap baris pada matriks berikut)
   ⎡⎣⎢1004000−10221⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 0& 2\\ 0& 0& -1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
   
   
   Dari matriks diatas baris merah dan baris hijau memenuhi kriteria pertama, karena elemen-elemen pada baris merah atau hijau tidak semuanya nol dan bilangan (elemen) bukan nol pertama (dari kiri) di dalam baris tersebut adalah 1. Sedangkan pada baris biru tidak memenuhi kriteria pertama sebab bilangan (elemen) bukan nol pertama (dari kiri) bukan bernilai 1, melainkan bernilai -1.
2. Nah kalau ada baris-baris yang semua elemennya  bernilai 0 semua, maka baris-baris tersebut harus dikelompokkan dan diletakkan dibagian bawah matriks.
   Contoh :
   ⎡⎣⎢0000000100−10⎤⎦⎥, ⎡⎣⎢−2003100−10⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}-2& 3& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
   
   
   Dari contoh diatas, matriks dengan elemen berwarna biru memenuhi kriteria kedua sebab terdapat baris yang semua elemennya 0 dan baris tersebut diletakkan di bagian bawah matriks. Sedangkan pada matriks berwarna merah, masih belum memenuhi kriteria kedua, sebab walaupun terdapat baris dengan elemen-elemennya 0, namun baris-baris tersebut tidak dikelompokkan dan tidak diletakkan di bagian bawah matriks tersebut. Pada matriks merah agar memenuhi kriteria kedua seharusnya :
   ⎡⎣⎢000000100−100⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
3. Jika terdapat dua baris berurutan yang memenuhi kriteria pertama, maka angka 1 (pertama/utama) dari baris yang lebih rendah berada lebih kekanan dari angka 1(pertama/utama) baris yang diatasnya.
   Contoh :
   ⎡⎣⎢100−200110210⎤⎦⎥, ⎡⎣⎢1003110−1−3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 2\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& -3\end{array}\right]$$
   
   
   Pada matriks hijau sudah memenuhi kriteria ketiga, karena jelas angka 1 pertama (dari kiri) pada baris yang lebih rendah letaknya lebih kekanan dari angka 1 pertama dari baris yang diatasnya.
   
   Sedangkan pada matriks biru belum memenuhi sebab terdapat dua baris berurutan yang melanggar kriteria ketiga yaitu baris ke 2 dan 3. Dimana angka 1 pertama baris ketiga terletak tepat di bawah angka 1 pertama baris kedua.
   

Setelah memahami ketiga kriteria (syarat) dari bentuk eselon baris. Berikut contoh matriks yang mempunyai bentuk eselon baris (memenuhi ketiga kriteria sekaligus).

⎡⎣⎢100−110291⎤⎦⎥, ⎡⎣⎢100500110000⎤⎦⎥, ⎡⎣⎢000100210000001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& 9\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}1& 5& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Selanjutnya kita akan menerapkan metode eliminasi gauss dan subtitusi balik untuk memecahkan suatu sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer. Disarankan sudah memahami penggunaan operasi baris elementer untuk pemecahan sistem persamaan linear.

Pemecahan SPL dengan Eliminasi Gauss

Gambaran diatas merupakan ilustrasi proses pemecahan Sistem Persamaan Linear (SPL), dimana urutan langkah-langkahnya dinamakan “Eliminasi Gauss” dan operasi yang dilakukan dinamakan “Operasi Baris Elementer (OBE)” dimana eliminasi gauss ini bertujuan membentuk Eselon Baris.

Catatan : Pada proses pemecahan dengan metode eliminasi gauss pada umumnya memiliki macam-macam jalur atau alur operasi yang dilakukan, misalkan pada langkah awal bisa saja kita menemukan beberapa operasi alternatif dan kita bebas memilihnya. Karena terdapat banyak jalur atau alur operasinya maka jika anda mencoba dengan jalur lain (tidak seperti di contoh) kemungkinan anda akan menemukan bentuk sistem/matriks yang berbeda. Namun jangan khawatir selama operasi yang dilakukan menggunakan Operasi Baris Elementer dan dilakukan secara teliti, maka solusi(pemecahan) yang didapat akan sama dan itu merupakan hal yang wajar.

Contoh (Banyak Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

2x+10y+4z=−2$2x+10y+4z=-2$
x+4y+5z=−3$x+4y+5z=-3$
3x+15y+6z=−3$3x+15y+6z=-3$

Perintah : Tentukan pemecahan sistem persamaan linear di atas dengan  metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Kita representasikan kedalam bentuk matriks :

⎡⎣⎢21310415456∣∣∣∣−2−3−3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}2& 10& 4\\ 1& 4& 5\\ 3& 15& 6\end{array}\right|\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -3\end{array}]$$

Langkah 1

Kita buat 1 pertama pada baris pertama dengan pilihan :

1. Dengan menukar baris ke-1 dengan baris ke-2, dinotasikan : R1↔R2$R_1\leftrightarrow R_2$
2. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan 12$\frac{1}{2}$, dinotasikan : 12R1→R1$\frac{1}{2}{R}_1\to R_1$

Kita pilih opsi kedua yaitu menggunakan operasi 12R1→R1$\frac{1}{2}{R}_1\to R_1$sehingga kita peroleh :

⎡⎣⎢21310415456∣∣∣∣−2−3−3⎤⎦⎥→⎡⎣⎢1135415256∣∣∣∣−1−3−3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}2& 10& 4\\ 1& 4& 5\\ 3& 15& 6\end{array}\right|\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -3\end{array}]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ 1& 4& 5\\ 3& 15& 6\end{array}\right|\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -3\end{array}]$$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi −1R1+R2→R2$-1R_1+R_2\to R_2$

⎡⎣⎢1135415256∣∣∣∣−1−3−3⎤⎦⎥→⎡⎣⎢1035−115236∣∣∣∣−1−2−3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ 1& 4& 5\\ 3& 15& 6\end{array}\right|\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -3\end{array}]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ 0& -1& 3\\ 3& 15& 6\end{array}\right|\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}]$$

Dilanjut penyederhanaan baris ke-3 dengan operasi −3R1+R3→R3$-3R_1+R_3\to R_3$

⎡⎣⎢1035−115236∣∣∣∣−1−2−3⎤⎦⎥→⎡⎣⎢1005−10230∣∣∣∣−1−20⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ 0& -1& 3\\ 3& 15& 6\end{array}\right|\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ 0& -1& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right|\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0\end{array}]$$

Langkah 3

Kita buat 1 pertama pada baris ke-2 dengan operasi −1R2→R2$-1R_2\to R_2$

⎡⎣⎢1005−10230∣∣∣∣−1−20⎤⎦⎥→⎡⎣⎢1005102−30∣∣∣∣−120⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ 0& -1& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right|\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0\end{array}]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right|\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}]$$

Matriks terakhir sudah memenuhi bentuk eselon baris sehingga selanjutnya menggunakan metode substitusi balik, namun sebelumnya kita harus mengubahnya kembali menjadi bentuk sistem persamaan linear.

⎡⎣⎢1005102−30∣∣∣∣−120⎤⎦⎥→x+5y+2z=−1…(1)y−3z=2…(2)$$\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right|\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}]\to \begin{array}{c}x+5y+2z=-1\dots (1)\\ y-3z=2\dots (2)\end{array}$$

Perhatikan persamaan (2) :

y−3z=2⇔y=2+3z$$y-3z=2\iff y=2+3z$$

Subtitusikan ke persamaan (1) dan diperoleh :

x+5y+2z=−1$$x+5y+2z=-1$$

⇔x=−1−5y−2z$$\iff x=-1-5y-2z$$

⇔x=−1−5(2+3z)−2z$$\iff x=-1-5(2+3z)-2z$$

⇔x=−1−10−15z−2z$$\iff x=-1-10-15z-2z$$

⇔x=−11−17z$$\iff x=-11-17z$$

Jelaslah pemecahannya banyak karena nilai dari z$z$ sendiri mempunyai tak terhingga banyaknya kemungkinan. Jadi himpunan penyelesaiannya yaitu :

HP={(x,y,z)∣x=−11−17z, y=2+3z, ∀ sebarang bilangan z}

Kedua, kita akan membahas metode gauss jordan.

Siapa itu Jordan ?

Camille Jordan (1838-1922) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang juga seorang profesor di Ecole polytechnique, Paris. Konstribusinya didalam teori matriks dan terkenal dengan teorema buatannya, yaitu Teorema Kurva Jordan yang ditulis dalam bukunya yang berjudul Cours d’Analyse.

Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah prosedur pemecahan sistem persamaan linear dengan mengubahnya menjadi bentuk matriks eselon baris tereduksi dengan Operasi Baris Elementer.

Perhatikan ilutrasi berikut :

Lalu apa itu eselon baris tereduksi?

Bentuk Eselon Baris Tereduksi

Matriks Eselon Baris Tereduksi adalah sebuah bentuk matriks eselon baris yang lebih disederhanakan yang bertujuan agar lebih mudah dalam pencarian pemecahan (solusi) dari suatu sistem persamaan .

Agar mencapai bentuk eselon baris tereduksi diperlukan 4 sifat yang terdiri 3 sifat bentuk eselon baris dan 1 sifat khusus.

Berikut 4 sifat agar terbentuk eselon baris tereduksi :

1. Jika suatu baris yang semua elemennya tidak nol semua, maka bilangan tidak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1. Bisa kita sebut dengan 1 utama/pertama.
2. Jika terdapat baris yang semuanya elemennya bernilai nol, maka semua baris yang seperti itu harus dikelompokkan dan diletakkan  di bawah matriks.
3. Setiap dua baris yang berurutan yang memenuhi sifat ke-1, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah letaknya harus lebih kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.
   Berikut contoh matriks eselon baris yang memenuhi ketiga sifat di atas :
   A=⎡⎣⎢000100010000501⎤⎦⎥, B=[10213−2], C=[10−11]$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 5\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& -2\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$$
   
   
   Di materi sebelumnya tentang eliminasi gauss sudah dijelaskan secara lebih jelas dan runtut mengenai Bentuk Eselon Baris (3 sifat diatas) dan disertai contoh yang menarik. Jadi disarankan membaca dulu materi tentang Eliminasi Gauss.
4. Sifat ke-4 ini merupakan sifat khusus yaitu setiap kolom yang mengandung 1 utama maka elemen-elemen lain selain 1 utama bernilai nol.
   Berikut contoh matriks eselon baris tereduksi yang memenuhi keempat syarat di atas :
   A=⎡⎣⎢000100100010⎤⎦⎥, B=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥, C=[0000]$$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

Setelah memahami bentuk eselon baris tereduksi selanjutnya kita akan mencoba memecahkan sistem persamaan linear dengan eliminasi gauss-jordan yakni dengan cara merepresentasikan kedalam  matriks kemudian mengubahnya kebentuk eselon baris tereduksi.

Penerapan Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi gauss-jordan akan lebih terasa bermanfaat jika sistem persamaan linear tersebut terdiri dari banyak persamaan dan variabel, semisal sistem tersebut mempunyai 5 persamaan dan 5 variabel di dalamnya. Selain itu, eliminasi gauss dan eliminasi gauss-jordan juga dapat diterapkan pada sistem persamaan taklinear tertentu (lihat pada contoh ke-2).

Sebenarnya pemecahan SPL dengan metode eliminasi gauss-jordan sudah diterapkan pada postingan sebelumnnya, yaitu pada materi Pemecahan SPL dengan Operasi Baris Elementer yang mana terdapat 3 contoh unik (solusi tunggal, banyak solusi dan tidak punya solusi). Ketiga contoh tersebut dikerjakan dengan prosedur eliminasi gauss-jordan yang dilakukan secara jelas dan runtut.