Determinan Matriks dengan

Metode CHIO

Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo dengan .
Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo menjadi ordo dan dikalikan dengan elemen . Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo . Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen . Apabila nilai elemen maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh .

Perhatikan untuk matrik dengan ordo $3 \times 3$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

Selanjutnya untuk matrik dengan ordo $4 \times 4$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi $n \times n$ , maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{n-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{2n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{31} & a_{3n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{n1} & a_{n2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{n1} & a_{n3} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{n1} & a_{nn} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Contoh 1.

Hitung determinan matriks $A = \begin{bmatrix} -2&1&4\\ 3&-5&2\\ 5&2&1 \end{bmatrix}$ .

Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat

$det(A) = \dfrac{1}{(-2)^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} -2&1\\ 3&-5 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 3&2 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} -2&1\\ 5&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 5&1 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} (-5)(-2)-(3)(1) & (-2)(2)-(3)(4)\\ (-2)(2)-(1)(5) & (-2)(1)-(4)(5) \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} 7&-16\\ -9&-22 \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} (7 \cdot -22-(-16) \cdot -9)$

$= \dfrac{1}{-2} (-154-144)$

$= \dfrac{1}{-2} (-298)$

$= -149$

Contoh 2.

Hitung determinan matriks $B = \begin{bmatrix} 2&1&6&7\\ 3&2&4&5\\ 4&4&2&3\\ 5&6&1&4 \end{bmatrix}$ .

Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat

$det(B) = \dfrac{1}{(2)^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 2&1\\ 3&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 3&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 3&5 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 4&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 4&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 4&3 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 5&6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 5&1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 5&4 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{2^2} \begin{vmatrix} (2)(2)-(3)(1) & (2)(4)-(3)(6) & (2)(5)-(3)(7)\\ (2)(4)-(1)(4) & (2)(2)-(4)(6) & (2)(3)-(7)(4)\\ (2)(6)-(1)(5) & (2)(1)-(6)(5) & (2)(4)-(7)(5) \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}$

Misal $C = \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}$ , diperoleh

$det(C) = \dfrac{1}{1^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&-10\\ 4&-20 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 4&-22 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} 1&-10\\ 7&-28 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 7&-27 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{1} \begin{vmatrix} (1)(-20)-(4)(-10) & (1)(-22)-(-11)(4)\\ (1)(-28)-(-10)(7) & (1)(-27)-(-11)(7) \end{vmatrix}$

$= \begin{vmatrix} 20 & 22\\ 42 & 50 \end{vmatrix}$

$= (20 \cdot 50-22 \cdot 42$

$= 1000-924$

$= 76$

Jadi,

$det(B) = \dfrac{1}{4} det(C)$

$= \dfrac{1}{4} (76)$

$= 19$

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Berikut sifat-sifat determinan yang terdapat pada matriks.

Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0.

Contoh :

misal matriks A = $\left [ \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 0 \end{array} \right ]$

dengan menggunakan Aturan Kofaktor, maka

det(A) = $\left | \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 0 \end{array} \right |$

= a31M31 – a32M32 + a33M33

= 0 $\left | \begin{array}{rr} 2& 3\\ 0& 1 \end{array} \right |$ – 0 $\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 1& 1 \end{array} \right |$ + 0 $\left | \begin{array}{rr} 1& 2\\ 1& 0 \end{array} \right |$

= 0(2.1 – 3.0) – 0(1.1 – 1.3) + 0(1.0 – 1.2)

= 0
Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, yakni det(A) = a11a22 … ann

Contoh :

det(A) = $\left | \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right |$

= a31M31 – a32M32 + a33M33

= 0 $\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 3& 1 \end{array} \right |$ – 0 $\left | \begin{array}{rr} 2& 3\\ 0& 1 \end{array} \right |$ + 3 $\left | \begin{array}{rr} 2& 1\\ 0& 3 \end{array} \right |$

= 0(1.1 – 3.3) – 0(2.1 – 0.3) + 3(2.3 – 0.1)

= 0 – 0 + 3.2.3

= 18

Hasil ini sama dengan perkalian entri pada diagonal utama yaitu 2 x 3 x 3 = 18
Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A’) = k det(A)

Contoh :

misal k = 2 dan A = $\left [ \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]$ maka kA = $\left [ \begin{array}{rrr} 4& 2& 6\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]$

det(A) = $\left | \begin{array}{rrr} 4& 2& 6\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right |$

berdasarkan Sifat 3 maka det(kA) = det(A’) = 4.3.3 = 36

karena det(A) = 18 dan k = 2 maka k.det(A) = 2.18 = 36

jadi, det(A’) = k.det(A)
Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) = -det(A)

Contoh :

misal A = $\left [ \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]$ maka kA = $\left [ \begin{array}{rrr} 4& 2& 6\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]$ dan baris 1 ditukar dengan baris 2 sehingga diperoleh matriks A’ = $\left [ \begin{array}{rrr} 0& 3& 1\\ 2& 1& 3\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]$

det(A’) = $\left [ \begin{array}{rrr} 0& 3& 1\\ 2& 1& 3\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]$

= a31M31 – a32M32 + a33M32

= 0 $\left | \begin{array}{rr} 3& 1\\ 1& 3 \end{array} \right |$ – 0 $\left | \begin{array}{rr} 0& 1\\ 2& 3 \end{array} \right |$ + 3 $\left | \begin{array}{rr} 0& 3\\ 2& 1 \end{array} \right |$

= 0(3.3 – 1.1) – 0(0.3 – 2.1) + 3(0.1 – 2.3)

= 0 – 0 + 3.(-2).3

= -18

Jadi, det(A’) = -det(A)
Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(A’) = det(A)

Contoh :

misal A = $\left [ \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]$ kemudian bilakukan Operasi Baris Elementer pada baris kedua yaitu B2 + 2B1 sehingga diperoleh A’ = $\left [ \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 4& 5& 7\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]$

det(A’) = $\left | \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 4& 5& 7\\ 0& 0& 3 \end{array} \right |$

= a31M31 – a32M32 + a33M33

= 0 $\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 5& 7 \end{array} \right |$ – 0 $\left | \begin{array}{rr} 2& 3\\ 4& 7 \end{array} \right |$ + 3 $\left | \begin{array}{rr} 2& 1\\ 4& 5 \end{array} \right |$

= 0(1.7 – 5.3) – 0(2.7 – 3.4) + 3(2.5 – 4.1)

= 0 – 0 + 3.(6)

= 18

Jadi, det(A’) = det(A)
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(A) = det(At)

Contoh :

misal A = $\left [ \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]$ maka At = $\left [ \begin{array}{rrr} 2& 0& 0\\ 1& 3& 0\\ 3& 1& 3 \end{array} \right ]$

det(At) = a13M13 – a23M23 + a33M33

= 0 $\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 3& 1 \end{array} \right |$ – 0 $\left | \begin{array}{rr} 2& 0\\ 3& 1 \end{array} \right |$ + 3 $\left | \begin{array}{rr} 2& 0\\ 1& 3 \end{array} \right |$

= 0(1.1 – 3.3) – 0(2.1 – 3.0) + 3(2.3 – 1.0)

= 0 – 0 + 3.2.3

= 18

Jadi, det(A) = det(At)
Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) + det(A’) [hasil yang serupa juga berlaku untuk kolom]

Contoh :

misal

A = $\left [ \begin{array}{rr} 1& 2\\ 4& 3 \end{array} \right ]$ maka det(A) = (1.3 – 4.2) = -5

A’ = $\left [ \begin{array}{rr} 4& 3\\ 1& 2 \end{array} \right ]$ maka det(A) = (4.2 – 1.3) = 5

dan A” = A + A’ = $\left [ \begin{array}{rr} 1& 2\\ 4& 3 \end{array} \right ]$ + $\left [ \begin{array}{rr} 4& 3\\ 1& 2 \end{array} \right ]$ = $\left [ \begin{array}{rr} 5& 5\\ 5& 5 \end{array} \right ]$ maka det(A”) = (5.5 – 5.5) = 0

jadi det(A”) = det(A) + det(A’) = -5 + 5 = 0
Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A) det(B)

Contoh :

Dari contoh pada Sifat 7 dengan det(A) = -5 dan det(A’) = det(B) = 5 maka det(AB) = (-5)(5) = -25

AB = $\left [ \begin{array}{rr} 1& 2\\ 4& 3 \end{array} \right ]$ $\left [ \begin{array}{rr} 4& 3\\ 1& 2 \end{array} \right ]$

= $\left [ \begin{array}{rr} 1.4+2.1& 1.3+2.2\\ 4.4+3.1& 4.3+3.2 \end{array} \right ]$

= $\left [ \begin{array}{rr} 6& 7\\ 19& 18 \end{array} \right ]$

det(AB) = 6.18 – 19.7

= 108 – 133

= -25

Jadi det(A.B) = det(A).det(B) = (-5)(5) = -25
Sebuah matriks kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) $\neq$ 0

Contoh :

misal A = $\left [ \begin{array}{rr} 1& 2\\ 4& 3 \end{array} \right ]$ dengan det(A) = -5

A-1 = $\frac{1}{detA}$ $\left [ \begin{array}{rr} d& -b\\ -c& a \end{array} \right ]$

= $\frac{1}{-5}$ $\left [ \begin{array}{rr} 3& -2\\ -4& 1 \end{array} \right ]$

= $\left [ \begin{array}{rr} -3/5& 2/5\\ 4/5& -1/5 \end{array} \right ]$

Karena det(A) $\neq$ 0. Jadi matriks A memilki invers yaitu A-1 = $\left [ \begin{array}{rr} -3/5& 2/5\\ 4/5& -1/5 \end{array} \right ]$
Jika A dapat dibalik, maka det(A-1) = $\frac{1}{det(A)}$

Contoh :

A-1 = $\left [ \begin{array}{rr} -3/5& 2/5\\ 4/5& -1/5 \end{array} \right ]$ maka

det(A-1) = (-3/5)(-1/5) – (4/5)(2/5)

= 3/25 – 8/25

= -5/25

= -1/5

karena det(A) = -5 maka berlaku det(A-1) = 1/det(A) = -1/5